Sponsor Bağlantılar

   

Karmaşık Sayılar,Kompleks Sayılar Nelerdir,Özellikleri


-- Sponsor Reklam ---

KARMAŞIK SAYILAR, KOMPLEKS SAYILAR, KARMAŞIK SAYILARIN ÖZELLİKLERİ (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR)

A)Sanal Sayı Kavramı

Sıfırdan farklı her reel sayının karesi pozitiftir, negatif olamaz. Sıfırın karesi sıfırdır.

Biz sanal olarak karesi negatif olan bir sayı düşünelim.

Örneğin karesi -1 olan bir sayı alırsak bu sayı bir sanal sayıdır. Bu sayıyı ‘i’ harfi ile gösterirler.

O halde dir.

Buna göre i sanal sayısı karesi -1 olan bir sayıdır.( )

Bu gösterimde

Dikkat edilirse i’nin kuvvetleri daima {i,-1,-i,1}dir.

değerinin hangi eleman olduğunu şöyle buluruz: i nin üssü olan n sayısını 4′e böleriz.

Eğer:

kalan 0 ise sonuç 1

kalan 1 ise sonuç i

kalan 2 ise sonuç -1

kalan 3 ise sonuç -i dir.

Sanal Sayılarla İşlemler

Toplama, çıkarma ve çarpmada (i)’yi bir harf gibi alır, sonuçta (i)’nin bir kuvveti varsa değerini yazarak işlemi yaparız.

Örneğin:

a)2i+3i-5i+6i=6i

b)3i-5i+i=-i

c)

Örnek= olduğuna göre

Cevap= 127 yi 4 e bölersek 3, 445 i bölersek 1, 1997 yi bölersek 1 kalır yani:

bulunur.

B)Karmaşık Sayılar

ve olmak üzere a+bi=z sayısına karmaşık sayı denir.

ifadesinde katsayılar reel sayı, üsler doğal sayı olduğu zaman P(x) bir polinom olur.

Her P(x) polinomu için alındığında P(i) nin daima a+bi olacağını görürüz.

Örneğin; polinomunda

= bulunur.

Karmaşık sayılar kümesi C harfi ile gösterilir.

z=3+2i ; dir.

Bir karmaşık sayı iki kısımdan oluşur. Bunlar reel kısım ve sanal kısımlardır.

z=a+bi karmaşık sayısında (bilgi yelpazesi.net) a reel kısım, b ise sanal kısımdır.

Reel kısım Re(z)=a, sanal kısım İm(z)=b biçiminde yazılarak gösterilir.

Karmaşık Sayıların Eşitliği

z=a+bi iken yani a+bi=x+yi ise a=x,b=y dir.

Eşit karmaşık sayılarda reel kısımlar bir birine, sanal kısımlar birbirine eşittir.

Karmaşık Sayının Eşleniği

Bir karmaşık sayının eşleniği, sanal kısmın işareti değiştirilerek elde edilen karmaşık sayıdır. Eşlenik sayı, esas karmaşık sayının üstüne bir çizgi çekilerek belirlenir.

z=a+bi ise eşleniği dir.

3+2i nin eşleniği 3-2i dir.

KARMAŞIK SAYILARDA İŞLEMLER

Karmaşık sayılarla, toplama çıkarma ve çarpma işlemleri polinomlarda olduğu gibi yapılır.

Toplama İşlemi

Toplamada, reel kısımlar toplanıp reel kısım; sanal kısımlar toplanıp sanal kısım bulunur.

Karmaşık sayılarda toplama işleminin etkisiz elemanı reel ve sanal kısımları 0(sıfır) olan karmaşık sayıdır.

Bir z karmaşık sayısının toplamaya göre tersi -z dir.

Örnek=

z’=3-2i , z^=5+7i , z^^=-6+3i olduğuna göre z’+z^+z^^ toplamı nedir?

Cevap=

(3-2i)+(5+7i)+(-6+3i)ise

3+5-6=2 ve -2i+7i+3i=8i dir.

=2+8i

Çıkarma İşlemi

İki karmaşık sayının farkı, için çıkan sayının toplamaya göre tersi ile toplamı yapılır, yani çıkan sayının işaretleri değiştirilerek toplama yapılır.

Örnek=

z=5+2i ve z’=4-3i ise z-z’=?

Cevap=

z-z’=(5+2i)-(4-3i)

=5+2i-4+3i

=1+5i bulunur.

Çarpma İşlemi

Polinomlarda olduğu gibi yapılır. i nin kuvvetleri i türünden hesaplanarak çarpma işlemi yapılır.

Örnek=

z=3+4i ve z’=2-3i ise

z.z’=(3+4i).(2-3i)

=6-9i+8i+12

=6-9i+8i+12

=18-i bulunur.

Bölme İşlemi

Pay ve payda, paydanın (bilgi yelpazesi.net) eşleniği ile çarpılarak yapılır.

dir.

Örnek=

olduğuna göre 3+2i işleminin sonucu nedir?

5-3i

Cevap=

3+2i = (3+2i).(5+3i) = 15+9i+10i+6

5-3i (5-3i).(5+3i) 25-9i

=15+9i10i-6 = 9+19i bulunur.

25+9 34

Eşlenik İfadelerde Özellikler

MUTLAK DEĞER

KARMAŞIK DÜZLEM

z=a+bi karmaşık sayısında a ve b gerçek sayılardır. Karmaşık sayılarda daima Reel kısım önce, sanal kısım sonra yazılır.

Bu tür yazma biçimi, karmaşık sayıları reel sayı ikilileri ile gösterme kolaylığı sağlar.

z=a+bi karmaşık sayısı z=(a,b) şeklinde yazılabilir.

Örneğin

z=(3,-2) karmaşık sayısı z=3-2i dir.

Bunu analitik düzlemde düşünebiliriz. Bu durumda ilk sayı reel kısmı, ikinci sayı sanal kısım olarak alınınca bir nokta belirler.

Bu gösterimde yatay eksen reel ekseni, düşey eksen de sanal ekseni belirtir.

Karmaşık sayının karmaşık düzlemde nokta olarak gösterilmesine, karmaşık sayının karmaşık düzlemdeki görüntüsü denir.

Bir karmaşık düzlemde her nokta bir karmaşık sayı, her karmaşık sayı da bir noktayı gösterir. Yani karmaşık düzlemdeki noktalar ile bütün karmaşık sayılar bire bir eşlenebilirler.

Your ads will be inserted here by

Easy AdSense.

Please go to the plugin admin page to
Paste your ad code OR
Suppress this ad slot OR
Suppress Placement Boxes.

Aşağıda bazı karmaşık sayıların (bilgi yelpazesi.net) karmaşık düzlemde görüntülerini görebiliriz:

z = 3-6i z^’ = 5+i

z’ = -4+6i z’^ = 3i

z” = -4-5i z^^ = 1

Karmaşık düzlemde eşlenik sayı: Sayının görüntüsünün X eksenine göre simetriği o sayının eşleniğidir. Orijine göre simetriği ise sayının negatifidir.

KARMAŞIK DÜZLEMDE MUTLAK DEĞER

Karmaşık düzlemde bir sayının orijine uzaklığına, o noktaya karşılık gelen karmaşık sayının mutlak değeri denir.

ise dir.

[z]=5 eşitliği z noktalarının orjine olan uzaklığını sabit ve 5 birim olduğunu gösterir. O halde bu z noktaları, merkezi orijin ve yarıçapı 5 olan bir çember üzerindedir.

Tanım olarak [z]=r eşitliği merkezi orijinde ve yarıçapı r olan bir çemberin karmaşık düzlemdeki denklemini gösterir.

ise nin anlamı merkezi orijinde ve yarıçapı r olan bir çember ve bu çemberin iç bölgesini gösterir.

ve ise çemberin sınırladığı iç bölgeyi gösterir. Çember dahil olmadığı için nokta nokta çizilir.

ve ise merkezi orijinde ve yarıçapı r olan çemberin dış bölgesini gösterir.

ve ise merkezi orijinde ve yarıçapı r olan çember ve içi hariç dış bölgenin tümünü gösterir.

Örnek=

z=x+yi ve z’=-1+4i ise [z]=[z'] olduğuna göre z noktalarının geometrik yeri nedir?

a)Merkezi orijinde yarıçapı 5 olan çember.

b)Merkezi orijinde yarıçapı 3 olan çember.

c)Merkezi orijinde yarıçapı 4 olan çember.

d)(-3,5)

e)0

Cevap=

[z]=[-3+4i] ise bu da [z]= 5 eşitliğidir. Yani (bilgi yelpazesi.net) merkezi orijinde yarıçapı 5 olan çemberdir.

Yanıt A şıkkı.

Örnek=

ve eşitsizliğini sağlayan noktalar karmaşık düzlemde bir bölge oluşturur. Bu bölgenin alanı kaç br karedir?

Cevap

Bu bölge merkezleri orijinde ve yarıçapları 2 ve 4 birim olan iki çemberin sınırladığı bölgedir, alanı:

BİR KARMAŞIK SAYININ SANAL SAYI İLE ÇARPIMI

ve z=x+yi olsun.

i.z=i(x+yi) bu da iz=-y+xi olur.

iz=-y+xi olduğu için (-y,x) olur ve z noktası etrafında pozitif yönde 90 derece dönünce iz noktasının bulunacağı görülür.

Örnek=

a=(5,2) noktası orijin etrafında negatif yönde 90 derece döndürülürse hangi nokta bulunur?

Cevap=

Negatif yönde 90 derece döndürmek için -i ile çarpılır.

(5,2)=5+2i dir.

-i(5+2i)=-5i-2 = 2-5i

O halde A’=(2,-5) bulunur.

KARMAŞIK DÜZLEMDE İKİ NOKTA ARASI UZAKLIĞIN BULUNMASI

Karmaşık düzlemde iki nokta arası uzaklığın bunların farkının mutlak değeridir.

Sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri düzlemde bir çemberdir.

Buna göre merkezi z’=a+bi ve yarıçapı r olan bir çemberin karmaşık düzlemdeki denklemi [z-z']=r biçiminde olur.

A={z:[z+2i] 2 } gibi ifadelerde A=(0,-2) şeklindedir ve yarıçapı 2 dir.

B={z:[z+2] 3 } ise B=(-2,0) şeklindedir ve yarıçapı 3 dür.

Örnek=

z=4-7i ve z’=1-3i sayılarının karmaşık düzlemdeki görüntüleri arası uzaklık nedir?

Cevap=

d=[z-z']=[(4-7i)-(1-3i)]

=[(4-1)+(-7+3)i]=[3-4i]

= = 5 birim

ÖrneğinMerkezi z’=2+3i ve yarıçapı 4 olan bir çember denklemi:

[z-(2+3i)]=4 biçimindedir.

KARMAŞIK SAYILARIN KUTUPSAL KORDİNATLARLA GÖSTERİMİ

z=a+bi karmaşık sayısının karmaşık düzlemde orijine birleştiren doğru parçasının [Oz]=r=[z] olur. Oz doğrusunun reel eksenle yaptığı yönlü açı da Q olsun. Karmaşık düzlemde bir r uzunluğu ve Q açısı verildiğinde z noktasının yeri bulunur.

Karşıt olarak bir z noktası verildiğinde r sayısı ve en az bir Q açısı bulunabilir. Q açısı açılarından biri olabilir. Yani bu açılardan her biri z nin üzerinde bulunduğu ışını belirtir. Bu ışın üzerinde r kadar alınarak z noktası bulunmuş olur.

z=0 sayısı için Q belirsizdir. Bundan (bilgi yelpazesi.net) dolayı r=0 almakla karmaşık düzlemde z=0(orijin) notasını göstermiş olur.

ARGÜMENT

Bir karmaşık sayı için reel eksenin pozitif yönü ile yaptığı Q açısına o karmaşık sayının argümenti denir ve

Arg z=Q biçiminde gösterilir.0 Q <360 arasında alınırsa buna z karmaşık sayısının esas argümenti denir ve Arg z=Q ile gösterilir.

Eğer z nin argümentini genel argüment Q+k.2 arg(z)=Q+k.2 ile gösterilir.

Esas argümente kısaca argüment denir.

BİR KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL KORDİNATLARDA YAZILMASI

z karmaşık sayısının kutupsal koordinatlarda yazılışı z=r(cosQ+i sinQ) şeklindedir.

r ise dir.

z=r(cosQ+i sinQ) da aradaki işaret daima + olacağına göre bu yazılışı cos den (C), sin den (S) harfi alınarak kısaca r(cosQ+i sinQ)=r cisQ biçiminde yazılır.

KUTUPSAL KORDİNATLARDA İŞLEMLER

Çarpma İşlemi

z=r(cosQ+i sinQ)

z’=r’(cos@+i sin@) olduğuna göre

z.z’=r.r’(cosQ+i sinQ).(cos@+i sin@) buradan da

z.z’=r.r’(cos(Q+@)+i sin(Q+@)) bulunur.

İki karmaşık sayının çarpımında mutlak değerler çarpılır, argümentler toplanır.

Bölme İşlemi

z=r(cosQ+i sinQ)

z’=r’(cos@+i sin@) ise

z = r =(cos(Q-@)+i sin(Q-@)) olarak bulunur.

z’ r’

[z] =r ve Arg(z)=Q

[z']=r’ ve Arg(z)=@ olduğuna göre

z = r Arg(z ) = Q-@ olur.

z’ r’ (z’)

KARE VE KAREKÖK

z nin kare ve kareköklerini bulmak için De Moivre formülü kullanılır.

bulunur.

n=p içinde geçerlidir.

q

Dikkat edilmesi gereken nokta n=p olduğu zaman argüment, genel

q

argüment alınmalıdır. Çünkü k değeri değiştikçe başka sayılar da bulunur.



Sponsor Reklamlar





Tüm kadın giyim markası fırsatları için tıklayın !


Bir önceki konumuz olan Türkiye’de Nüfus ve Yerleşme başlıklı makalemizde Fizyolojik Nüfus Yoğunluğu, Tarımsal Nüfus Yoğunluğu ve Türkiye’de Doğal Nüfus Artış Hızı (Doğurganlık Hızı) hakkında bilgiler verilmektedir.

Anahtar Kelimeler:

 karmaşık sayıların özellikleri


Karmaşık Sayılar,Kompleks Sayılar Nelerdir,Özellikleri admin tarafından 22 Nisan 2011 tarihinde , Matematik kategorisine eklenmiştir.
    yeni 10
Benzer Konular
Karmaşık Sayılar,Kompleks Sayılar Nelerdir,Özellikleri isimli bu konuyu ;
Google'de Ara
BlogSearch'te Ara
Buzzzy'de Ara
Twitter'da Ara
Bing'te Ara
İletişim

Sende Yorum Yaz

Facebook Grubumuza Katılın!